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微分中值定理是高等数学中的重要理论，包含罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个核心内容。这些定理揭示了函数在区间上的整体性质与局部性质之间的关系。图中展示了中值定理的几何直观：在满足一定条件的连续可导函数上，总存在某点的切线斜率等于割线斜率。
罗尔定理是微分中值定理中最基础的定理。它要求函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且端点函数值相等。在这些条件下，必存在至少一点，使得该点的导数为零，即存在水平切线。图中展示了满足罗尔定理条件的函数，可以看到在c点处切线是水平的，导数为零。
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，去掉了端点函数值相等的限制。它指出在连续可导的函数上，必存在一点，使得该点的导数等于函数在区间端点的平均变化率。几何上表现为割线斜率等于某点切线斜率。物理上意味着在某个时刻的瞬时速度等于整个过程的平均速度。
柯西中值定理是最一般的微分中值定理，适用于参数方程形式。它要求两个函数都连续可导，且辅助函数的导数不为零。结论表明存在一点，使得两函数导数的比值等于两函数增量的比值。当辅助函数取为x时，就退化为拉格朗日中值定理。图中展示了参数曲线上割线与切线斜率相等的几何意义。
三个微分中值定理构成了完整的理论体系。罗尔定理是最特殊的情况，要求端点函数值相等。拉格朗日中值定理去掉了这个限制，是更一般的形式。柯西中值定理则是最一般的情况，适用于参数方程。它们在洛必达法则、不等式证明、函数性质研究等方面有重要应用，是微积分理论的重要基石。