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向量是数学中既有大小又有方向的量。在平面直角坐标系中，我们可以用坐标来表示向量。任意向量a可以表示为(x,y)的形式，这相当于x倍的单位向量i加上y倍的单位向量j。单位向量i的坐标是(1,0)，指向x轴正方向；单位向量j的坐标是(0,1)，指向y轴正方向。比如向量a(3,2)就是3倍的i向量加上2倍的j向量的结果。
向量的坐标运算遵循简单的法则。向量加法：两个向量相加，对应坐标分别相加。向量减法：对应坐标分别相减。数乘运算：数k乘以向量，就是k乘以向量的每个坐标。让我们看一个具体例子：向量a坐标是(3,2)，向量b坐标是(1,3)，那么a加b等于(4,5)。在几何上，向量加法遵循平行四边形法则，两个向量的和就是平行四边形的对角线向量。
向量的数量积，也叫点积，有两种定义方式。几何定义是：向量a与向量b的数量积等于它们的模长乘积再乘以夹角的余弦值。坐标定义更简单：两个向量对应坐标分别相乘再相加。比如向量a坐标(3,4)，向量b坐标(2,1)，它们的数量积就是3乘2加4乘1等于10。几何上，数量积反映了一个向量在另一个向量方向上的投影长度与该向量模长的乘积。
数量积有重要的性质和应用。首先是交换律：a点乘b等于b点乘a。其次是与数乘的结合律和分配律。最重要的两个应用是：第一，判断向量垂直，当两个向量的数量积为零时，它们互相垂直；第二，计算向量长度，向量a的模长等于a与自身数量积的平方根。比如向量a(3,2)和向量b(-2,3)，它们的数量积是零，所以互相垂直。向量a的模长是根号13。
利用数量积可以计算向量夹角和解决距离问题。向量夹角的余弦值等于两向量数量积除以它们模长的乘积。让我们看一个例子：向量a坐标(4,3)，向量b坐标(2,6)。首先计算数量积：4乘2加3乘6等于26。然后计算模长：向量a的模长是5，向量b的模长是2倍根号10。最后得到夹角余弦值是26除以10倍根号10，化简后是13除以5倍根号10。这种方法在解析几何中非常实用。