视频字幕
微积分是数学中最重要的分支之一，它研究函数的变化率和累积量。微积分包含三个核心概念：极限描述函数的趋近行为，导数计算瞬时变化率，积分计算累积量。历史上，牛顿从物理学角度发展了微积分，而莱布尼茨建立了完整的符号系统。微积分是现代科学技术发展的基础工具。
极限是微积分的基础概念。极限的严格定义使用ε-δ语言：对任意小的正数ε，都存在正数δ，使得当x在a的δ邻域内时，函数值f(x)都在L的ε邻域内。经典例题是证明sin(x)/x当x趋于0时的极限等于1。极限具有唯一性、局部有界性、保号性等重要性质，并且满足四则运算法则。
导数定义为函数在某点的瞬时变化率，用极限表示为f'(x)等于h趋于0时，f(x+h)减去f(x)再除以h的极限。几何上，导数表示函数图像在该点的切线斜率。基本求导公式包括幂函数、三角函数和指数函数的导数。链式法则是复合函数求导的重要工具，乘积法则和商法则也是常用的求导技巧。
通过具体例子分析函数y等于x的三次方减3x的平方加2。首先求导得到f'(x)等于3x的平方减6x，因式分解为3x乘以x减2。令导数为零得到临界点x等于0和x等于2。通过导数符号判断单调性：函数在负无穷到0和2到正无穷上单调递增，在0到2上单调递减。因此x等于0是极大值点，函数值为2；x等于2是极小值点，函数值为负2。
积分是微积分的另一个核心概念。定积分定义为黎曼和的极限，几何上表示曲线与x轴围成区域的面积。牛顿-莱布尼茨公式建立了定积分与原函数的关系，即定积分等于原函数在上限的值减去在下限的值。基本积分公式包括幂函数、指数函数和三角函数的积分。换元积分法和分部积分法是重要的积分技巧。