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我们有一个关于x和y的三元线性方程组。第一个方程是x加上1加k乘以y等于0。第二个方程是1减k乘以x加上k乘以y等于1加k。第三个方程是1加k乘以x加上12减k乘以y等于负的1加k。我们的目标是找到使这个方程组有解的k值。方程组有解意味着存在x和y的值能够同时满足所有三个方程。
现在我们构建增广矩阵。首先将方程组写成标准形式，明确每个变量的系数。第一个方程x的系数是1，y的系数是1加k，常数项是0。第二个方程x的系数是1减k，y的系数是k，常数项是1加k。第三个方程x的系数是1加k，y的系数是12减k，常数项是负的1加k。然后我们构建增广矩阵，左边是系数矩阵A，右边是常数向量b。增广矩阵完整地表示了线性方程组的所有信息。
现在进行矩阵行变换。首先执行R2减去R1乘以1减k的变换。计算第二行新的元素：k减去1减k乘以1加k，化简得到2k减1。常数项保持1加k不变。接下来执行R3减去R1乘以1加k的变换。第三行第二列元素变为12减k减去1加k乘以1加k，化简得到11减2k。常数项变为负1加k减去0，仍为负1加k。变换后我们得到了阶梯形矩阵，可以观察零行出现的条件。
根据线性方程组有解的判定定理，当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解。观察变换后的矩阵，我们需要分析第三行的情况。如果第三行的系数11减2k等于0，即k等于11除以2时，第三行会变成零行。但此时常数项是负的1加k，当k等于11除以2时，常数项不为0。这会导致矛盾行0等于非零数。因此我们需要找到使得第三行系数和常数项同时为0的k值。
现在求解k值。从约束条件11减2k等于0和负的1加k等于0，我们得到k等于11除以2和k等于负1。这两个条件矛盾，不能同时满足。重新分析矩阵结构，我们发现关键在于第二行。当2k减1等于0，即k等于二分之一时，第二行变为零行，此时第三行的系数11减2k等于10，常数项为负的二分之三。这样系数矩阵和增广矩阵的秩都等于1，方程组有解。因此k等于二分之一。