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点乘，也称为标量积，是向量运算中的重要概念。两个向量的点乘定义为两向量长度的乘积再乘以它们夹角的余弦值。点乘的结果是一个标量，不是向量。让我们看看当夹角变化时，点乘值是如何改变的。
点乘可以用坐标形式进行计算。对于二维向量a等于a1，a2和向量b等于b1，b2，它们的点乘等于a1乘以b1加上a2乘以b2。让我们通过一个具体例子来演示：向量a等于3，2，向量b等于1，4，那么点乘结果为3乘以1加上2乘以4等于11。这个公式可以扩展到三维空间。
点乘的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影长度与该向量长度的乘积。当夹角为0度时，点乘为正值最大；当夹角为90度时，点乘为零，表示两向量垂直；当夹角为180度时，点乘为负值。让我们观察投影如何随角度变化。
点乘具有几个重要性质。首先是交换律，a点乘b等于b点乘a。其次是分配律，a点乘括号b加c等于a点乘b加上a点乘c。还有结合律，常数k乘以a点乘b等于ka点乘b，也等于a点乘kb。最重要的是，点乘的结果总是标量，不是向量。让我们用具体例子验证交换律。
点乘在实际中有很多重要应用。首先可以判断向量是否垂直，当点乘为零时两向量垂直。其次可以计算向量夹角，利用余弦公式。还可以计算投影长度。在物理中，功等于力与位移的点乘。让我们验证向量3，4和负4，3是否垂直，计算得到点乘为零，确实垂直。