视频字幕
勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的神奇关系。定理表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²加b²等于c²。这个定理不仅在数学中具有基础地位，在物理、工程等领域也有广泛应用。
为了证明勾股定理，我们采用几何构造的方法。首先构造一个边长为a加b的大正方形，然后在这个正方形内巧妙地放置四个全等的直角三角形。这四个三角形的摆放方式会在正方形中央形成一个小正方形，这个小正方形的边长恰好等于原直角三角形的斜边c。
现在我们用面积分析法来证明勾股定理。大正方形的面积可以用两种方法计算：第一种是整体计算，面积等于边长的平方，即(a+b)²；第二种是分部计算，面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即2ab+c²。由于这两种方法计算的是同一个面积，所以(a+b)²等于2ab+c²。展开左边得到a²+2ab+b²，消去两边的2ab，最终得到a²+b²=c²，这就是勾股定理。
相似三角形证明法提供了另一种优雅的证明方式。在直角三角形ABC中，从直角顶点C向斜边AB作高线CD。这条高线将原三角形分成两个小三角形，加上原三角形，共形成三个相似三角形。根据相似三角形的性质，对应边成比例，我们可以得到AC²等于AB乘以AD，BC²等于AB乘以BD。将这两个等式相加，得到AC²加BC²等于AB的平方，这就证明了勾股定理。
让我们用经典的勾股数来验证定理的正确性。最著名的3-4-5直角三角形：3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。另一个例子是5-12-13：5的平方加12的平方等于25加144等于169，正好等于13的平方。勾股定理在实际生活中有广泛应用，包括建筑工程的直角测量、导航系统的距离计算、物理学的矢量分解等。勾股定理不仅是几何学的基石，更是连接代数与几何的重要桥梁。