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向量是数学中的重要概念，它是既有大小又有方向的量。我们用有向线段来表示向量，从起点指向终点的方向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小。向量具有平移不变性，也就是说，只要大小和方向相同，向量就是相等的，不管它们在空间中的位置如何。
直角坐标系是数学中用来确定点位置的重要工具。它由原点O、x轴、y轴和统一的单位长度组成。原点是坐标系的中心，x轴是水平方向的数轴，y轴是竖直方向的数轴。任意一点P在坐标系中的位置可以用有序数对(x, y)来表示，其中x是横坐标，y是纵坐标。通过坐标系，我们可以精确地描述点的位置。
向量的坐标表示是向量代数的基础。对于平面上的向量，我们可以用有序数对(a,b)或列向量形式来表示。如果向量的起点是A，终点是B，那么向量AB的坐标就是终点坐标减去起点坐标。例如，从点A(1,2)到点B(4,5)的向量AB等于(3,3)，其中3是x方向的分量，3是y方向的分量。这样，向量就可以分解为两个坐标轴方向的分量。
向量的坐标运算遵循简单的代数法则。向量加法是对应坐标分别相加，向量减法是对应坐标分别相减，数乘是每个坐标都乘以该数。例如，向量a等于(2,1)，向量b等于(1,3)，那么它们的和就是(3,4)。从几何角度看，向量加法遵循平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。
向量的长度和夹角是向量的重要几何性质。向量的长度或模长等于各坐标平方和的平方根。两向量的夹角可以通过数量积公式计算，其中数量积等于对应坐标乘积之和。单位向量是长度为1的向量，可以通过原向量除以其模长得到。例如，向量a等于(3,4)，其长度为5，这些公式在物理和工程中有广泛应用。