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黎曼猜想是数学中最著名的未解问题之一。它断言黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部等于二分之一的直线上，这条线被称为临界线。如果这个猜想成立，将对素数分布理论产生深远影响。
黎曼ζ函数最初定义为无穷级数，即所有正整数的负s次幂之和。欧拉发现了一个惊人的恒等式：这个级数等于所有素数相关项的无穷乘积。这个欧拉乘积公式建立了ζ函数与素数分布之间的直接联系，是理解黎曼猜想重要性的关键。
ζ函数的零点通过显式公式直接影响素数计数函数ψ(x)。这个公式包含主项x和所有零点的修正项。右图显示了ψ(x)的阶梯状真实值，以及仅考虑主项x的光滑直线。当我们加入零点修正项后，修正后的曲线更好地逼近真实的素数分布。
如果黎曼猜想成立，即所有零点都在临界线上，那么素数定理的误差项将达到最优界：大O记号下的x的二分之一次方乘以log平方x。右图显示了这种情况下误差保持有界。相反，如果存在偏离临界线的零点，误差将急剧增长，这突出了临界线位置的关键重要性。
目前的数值验证结果令人鼓舞。2004年，Gourdon验证了前10的13次方个零点都确实位于临界线上。然而，数值验证无论多么广泛，都无法构成严格的数学证明。证明黎曼猜想对所有无穷多个零点都成立，仍然是数学中最重要的未解问题之一，等待着未来数学家的突破。