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一元二次方程是数学中的重要概念。它的标准形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a不等于0。这里a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。让我们看几个具体例子，并观察不同系数如何影响方程的形式。
因式分解法是解一元二次方程最直观的方法。以x²-5x+6=0为例，我们需要找到两个数，它们的乘积是6，和是-5。这两个数是-2和-3。将方程分解为(x-2)(x-3)=0，根据乘积为零的性质，得到x=2或x=3。从几何角度看，这两个解就是抛物线与x轴的交点。
配方法是解一元二次方程的重要方法，其核心思想是将方程左边配成完全平方式。以x²+6x+5=0为例，首先移项得到x²+6x=-5，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，即9，得到x²+6x+9=4。左边可以写成(x+3)²=4，开平方得到x+3=±2，最终解得x=-1或x=-5。从几何角度看，这相当于将不完整的正方形补充完整。
求根公式是解一元二次方程的万能方法。从一般形式ax²+bx+c=0开始，通过配方法推导。首先移项得ax²+bx=-c，然后除以a得到x²+b/a·x=-c/a。配方后得到(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²，开平方得到求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a。其中b²-4ac称为判别式，记作Δ，它决定了方程解的性质。
判别式Δ=b²-4ac决定了一元二次方程解的性质。当Δ>0时，方程有两个不等的实根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根，抛物线与x轴相切于一点；当Δ<0时，方程无实数根，抛物线与x轴无交点。通过观察不同情况下的图像，我们可以直观地理解判别式的几何意义。