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让我们从熟悉的弹簧振子开始。当小球在弹簧上做简谐运动时，它的位移随时间变化遵循余弦函数规律。如果我们把时间轴水平展开，就得到了这条美丽的余弦曲线。图像上的每一点都对应着小球在某个时刻的位置，这就是三角函数图像的物理本质。
角频率ω是控制振动快慢的关键参数。ω越大，函数振荡得越快，周期就越短。它们之间的关系是T等于2π除以ω。当ω从1增加到2再到3时，我们可以看到曲线在水平方向被压缩，周期不断缩短。这就是ω的魔法：它决定了时间的节拍。
初相位φ决定了函数在t等于0时的起跑位置。当φ大于0时，整个图像向左平移φ除以ω的距离；当φ小于0时，图像向右平移。这条垂直虚线标记着t等于0的位置，我们可以看到φ直接决定了此时的位移值，即x(0)等于A乘以cosφ。
让我们通过一道典型题目来综合运用ω和φ的知识。已知位移函数，从ω等于4π可以画出压缩的波形。在t等于0处，位移为0.025米，利用余弦函数得到φ的两个可能值。但题目说此时向负方向运动，通过速度判断选择φ等于π/3。最后计算周期T等于2π除以ω，得到0.5秒。这就是解题的三步法：定ω、定φ、验方向。
三角函数的标准形式是y等于A乘以正弦括号omega t加phi。其中A是振幅，决定函数的最大值；omega是角频率，决定函数的周期；phi是初相位，决定函数的起始位置。这个公式是物理学中描述简谐振动的基本数学工具。
振幅A控制三角函数的最大值和最小值。当A大于1时，图像在垂直方向被拉伸；当A小于1时，图像被压缩。如果A为负数，整个图像会上下翻转。在物理学中，振幅表示振动的最大位移，比如弹簧振子的最大偏离平衡位置的距离。
角频率omega控制三角函数的周期。周期T等于2π除以omega，频率f等于omega除以2π。当omega增大时，函数振动得更快，周期变短；当omega减小时，函数振动得更慢，周期变长。这在物理学中对应振动的快慢程度。
初相位phi控制三角函数的起始位置。当phi大于0时，函数图像向左平移；当phi小于0时，函数图像向右平移。灰色曲线是参考的标准正弦函数，红点表示新函数过零点的位置。在物理学中，初相位表示t等于0时刻的相位状态。
最后我们来看相位差的概念。当两个同频率的振动叠加时，它们的相位差决定了叠加结果。这里我们看到两条曲线，一条是普通余弦函数，另一条相位超前π/2。当它们叠加时，产生了新的波形。相位差为0时同相加强，相位差为π时反相抵消。这个概念为我们后续学习波的干涉现象奠定了基础。