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微分是數學中描述變化率的重要概念。想像一輛汽車在行駛，我們可以計算它的平均速度，但更有趣的是它在某個瞬間的速度。微分就是描述這種瞬間變化率的工具。當我們觀察這個運動的點時，可以看到它的速度在不斷變化，這就是微分要研究的核心問題。
從幾何角度看，微分就是函數圖形上某點的切線斜率。我們可以通過割線來理解切線的概念。割線連接曲線上的兩個點，當這兩個點越來越接近時，割線就逐漸變成了切線。這個過程中，割線的斜率會收斂到切線的斜率，而這個切線斜率就是該點的微分值。
微分的嚴格數學定義使用極限概念。對於函數f(x)，它在點x的微分定義為當h趨近於0時，差商的極限值。以f(x)等於x平方為例，我們可以計算出它的微分是2x。通過數值計算可以看到，當h越來越小時，差商確實趨近於2，這驗證了極限定義的正確性。
掌握基本函數的微分公式能大大提高計算效率。常數的微分是零，冪函數x的n次方的微分是n倍x的n減1次方。指數函數e的x次方的微分還是它本身，自然對數函數的微分是x分之一。正弦函數的微分是餘弦函數，餘弦函數的微分是負正弦函數。這些公式是微分計算的基礎工具。
微分運算有四個基本法則。和差法則說明兩函數和或差的微分等於各自微分的和或差。乘積法則較複雜，兩函數乘積的微分等於第一個函數的微分乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的微分。商法則用於處理分式函數。最重要的是鏈式法則，用於複合函數的微分，外函數的微分乘以內函數的微分。