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二元一次函数是含有两个自变量的一次函数，其标准形式为z等于ax加by加c，其中a和b不能同时为零。例如z等于2x加3y加1就是一个二元一次函数。与一元一次函数相比，二元一次函数有两个自变量x和y，函数值z随这两个变量的变化而变化。
二元一次函数在三维空间中表示一个平面。以z等于2x加3y加1为例，我们可以计算这个平面与三个坐标轴的交点。当y和z为0时，x等于负二分之一；当x和z为0时，y等于负三分之一；当x和y为0时，z等于1。通过这些交点，我们可以确定平面的位置和方向。
系数a、b、c对平面的形状和位置有不同影响。系数a控制平面在x方向的倾斜程度，a越大平面在x方向倾斜越陡。系数b控制平面在y方向的倾斜程度。系数c控制平面的上下平移，c增大平面整体上移。通过对比z等于x加y、z等于2x加y、z等于x加2y和z等于x加y加2这四个函数，我们可以清楚看到各系数的作用效果。
二元一次函数在实际中有广泛应用。例如某工厂生产两种产品，产品A每件利润30元，产品B每件利润50元，固定成本200元，则总利润函数为P等于30x加50y减200。其中P表示总利润，x表示产品A的数量，y表示产品B的数量。当生产10件产品A和8件产品B时，总利润为500元。这个利润函数在三维空间中表示一个平面。
通过一个综合练习来巩固所学知识。已知二元一次函数z等于3x减2y加4，我们可以分析其图像特征。计算与坐标轴的交点：x轴交点为负三分之四、0、0，y轴交点为0、2、0，z轴交点为0、0、4。验证点1、1、5在平面上。总结二元一次函数的核心要点：标准形式为z等于ax加by加c，几何意义是三维平面，参数a和b控制倾斜程度，参数c控制平移。