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一元二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a不等于0。参数a决定抛物线的开口方向和大小，a大于0时开口向上，小于0时开口向下。参数b影响对称轴的位置，参数c决定抛物线与y轴的交点。让我们看看改变这些参数如何影响抛物线的形状。
一元二次函数的图像具有重要的几何性质。顶点坐标可以用公式计算，横坐标是负b除以2a，纵坐标是负判别式除以4a。对称轴方程是x等于负b除以2a。当a大于0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a小于0时，开口向下，函数有最大值。这些性质帮助我们快速分析函数的特征。
一元二次方程ax²+bx+c=0的几何意义是求抛物线与x轴的交点。判别式Δ等于b²减4ac决定了方程解的情况。当Δ大于0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等实根；当Δ等于0时，抛物线与x轴相切，方程有一个重根；当Δ小于0时，抛物线与x轴无交点，方程无实根。
一元二次方程有三种主要解法。因式分解法适用于能够分解的方程，配方法通过完成平方来求解，求根公式法是通用方法。求根公式x等于负b加减根号b²减4ac全部除以2a，可以解所有一元二次方程。以x²减3x加2等于0为例，使用求根公式得到两个根：x₁等于2，x₂等于1。
一元二次不等式的几何意义是判断函数值的正负性。对于ax²+bx+c大于0，就是求抛物线在x轴上方的部分；对于ax²+bx+c小于0，就是求抛物线在x轴下方的部分。当判别式大于0时，抛物线与x轴有两个交点，不等式的解集为两个区间。通过图像可以直观地看出解集的范围。