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泰勒展开公式是数学分析中的重要工具，它能将任意光滑函数在某点附近表示为无穷级数。通过泰勒展开，我们可以用多项式来近似复杂函数。例如，指数函数e的x次方可以在x等于0处展开为1加x加x平方除以2等等的级数形式。
泰勒公式的基本思想是用多项式来逼近函数。在展开点a处，我们要求多项式不仅函数值相等，而且各阶导数也都相等。一阶泰勒多项式就是切线，它保证了函数值和一阶导数在a点相等。通过增加更高阶项，我们可以让多项式更精确地逼近原函数。
现在我们来推导泰勒公式。设多项式P_n(x)等于c_0加c_1乘以x减a加c_2乘以x减a的平方，以此类推。要求P_n在a点的值等于f在a点的值，所以c_0等于f(a)。对P_n求导得到P_n'(x)，要求P_n'(a)等于f'(a)，所以c_1等于f'(a)。继续求二阶导数，要求P_n''(a)等于f''(a)，得到c_2等于f''(a)除以2的阶乘。一般地，第k个系数c_k等于f的k阶导数在a点的值除以k的阶乘。