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卡方分布是概率论中一个重要的连续概率分布。它由独立标准正态随机变量的平方和构成。卡方分布只取非负值，其形状由自由度参数决定。当自由度较小时，分布向左偏斜；随着自由度增加，分布逐渐趋向对称。
卡方分布的数学定义如下：设 Z1, Z2, 到 Zk 是 k 个独立的标准正态随机变量，每个都服从均值为0、方差为1的正态分布。那么这些随机变量的平方和 X 等于 Z1平方加Z2平方一直加到Zk平方，就服从自由度为 k 的卡方分布。
卡方分布有几个重要性质。首先，它的取值范围是从0到正无穷，因为它是平方和构成的。其次，卡方分布的均值等于自由度k，方差等于2k。在形状上，当自由度较小时分布向右偏斜，随着自由度增大，分布逐渐变得对称。
卡方分布在统计学中有广泛应用。主要包括假设检验，如拟合优度检验和独立性检验；方差分析；置信区间估计；以及样本方差的分布研究。在假设检验中，我们计算卡方统计量，然后与临界值比较来做出统计决策。右图显示了典型的假设检验情况，红色区域为拒绝域。
卡方分布的数学定义如下：设 Z1, Z2, 到 Zk 是 k 个独立的标准正态随机变量，每个都服从均值为0、方差为1的正态分布。那么这些随机变量的平方和 X 等于 Z1平方加Z2平方一直加到Zk平方，就服从自由度为 k 的卡方分布。
卡方分布有几个重要性质。首先，它的取值范围是从0到正无穷，因为它是平方和构成的。其次，卡方分布的均值等于自由度k，方差等于2k。在形状上，当自由度较小时分布向右偏斜，随着自由度增大，分布逐渐变得对称。
卡方分布在统计学中有广泛应用。主要包括假设检验，如拟合优度检验和独立性检验；方差分析；置信区间估计；以及样本方差的分布研究。在假设检验中，我们计算卡方统计量，然后与临界值比较来做出统计决策。右图显示了典型的假设检验情况，红色区域为拒绝域。
总结一下，卡方分布是由独立标准正态随机变量的平方和构成的重要概率分布。它的形状完全由自由度参数决定，均值等于自由度，方差等于自由度的两倍。卡方分布只取非负值，是假设检验、方差分析和拟合优度检验等统计推断中不可或缺的重要工具。