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我们要用配方法求解二次函数3x²-8xy+9y²-4x+6y+17的最值。配方法的核心思想是将二次函数转化为完全平方式的和，从而确定最值。让我们先通过一个简单的一元二次函数配方示例来理解这个方法。对于x²+4x+5，我们可以配方得到(x+2)²+1，这样就能看出最小值为1，当x等于负2时取得。
现在我们来处理含有交叉项xy的二次函数。对于3x²-8xy+9y²这部分，我们需要巧妙地配方。首先提取x²的系数3，得到3倍的x²减去8/3xy。然后配成完全平方式，需要加上并减去16/9y²。这样就得到3倍的x减去4/3y的完全平方，再加上11/3y²。这是处理交叉项的关键技巧。
现在我们将前面得到的结果与一次项负4x加6y结合。为了简化计算，我们使用变量替换的技巧，设u等于x减去4/3y，那么x就等于u加4/3y。将这个替换代入表达式，展开并合并同类项，最终得到3u²减4u加11/3y²加2/3y的形式。这样我们就成功地将一次项引入到配方过程中。
现在我们完成整个配方过程。首先对u进行配方，3u²减4u等于3倍的u减2/3的完全平方减4/3。然后对y进行配方，11/3y²加2/3y等于11/3倍的y加1/11的完全平方减1/33。最后将所有项合并，加上常数17，得到最终的标准形式：3倍的u减2/3的完全平方加11/3倍的y加1/11的完全平方加508/33。
根据配方后的标准形式，我们可以确定函数的最值。由于完全平方项都大于等于零，当两个完全平方项都等于零时，函数取得最小值。令u减2/3等于零，得到u等于2/3；令y加1/11等于零，得到y等于负1/11。由于u等于x减4/3y，代入可得x等于6/11。因此，原函数的最小值为508/33，当x等于6/11，y等于负1/11时取得。