视频字幕
我们要求解二元二次函数f(x,y)等于3x平方减8xy加9y平方减4x加6y加17的最值。这是一个典型的二元二次函数，包含二次项、一次项和常数项。二次项决定函数的基本形状，一次项影响函数的位置，常数项决定函数值的整体水平。
为了分析函数的性质，我们将二次项写成矩阵形式。系数矩阵A的特征值决定函数的凹凸性。通过计算特征多项式，我们得到特征值λ1等于1，λ2等于11。由于两个特征值都是正数，说明函数是正定的，必然存在最小值。
要找到最值，我们需要求偏导数并令其为零。对x的偏导数是6x减8y减4，对y的偏导数是负8x加18y加6。令两个偏导数都等于零，得到方程组。解这个方程组，我们得到临界点的坐标：x等于九分之二，y等于负九分之一。
现在我们将临界点坐标代入原函数计算最值。将x等于九分之二，y等于负九分之一代入函数f(x,y)。经过计算，我们得到函数的最小值为八十一分之一千二百八十八，约等于15.9。
综上所述，我们通过四个步骤求解了二元二次函数的最值问题。首先分析二次型矩阵确定函数性质，然后计算偏导数并求解临界点，最后代入计算得到最小值。函数f(x,y)等于3x平方减8xy加9y平方减4x加6y加17在点(2/9, -1/9)处取得最小值1288/81。
配方法是求解二次函数最值的经典方法。对于一元二次函数，我们通过配方将其写成完全平方式加常数的形式。对于二元函数，思路类似，我们要将函数配成两个完全平方项的线性组合。对于我们的函数，第一步是提取x的二次项系数3，重新整理含x的项。
为了更深入分析函数性质，我们将二次型写成矩阵形式。二次项3x平方减8xy加9y平方可以表示为向量x,y乘以系数矩阵A再乘以向量x,y的转置。系数矩阵A的特征值决定了二次型的性质。通过计算特征多项式，我们得到λ平方减12λ加11等于0，解得特征值λ1等于1，λ2等于11。由于两个特征值都是正数，说明二次型是正定的，函数必有最小值。
要找到函数的最值点，我们需要计算偏导数并令其为零。对x的偏导数是6x减8y减4，对y的偏导数是负8x加18y加6。令两个偏导数都等于零，得到线性方程组。从第一个方程解出x等于三分之四y加二，代入第二个方程，化简后得到22y加2等于0，解得y等于负十一分之一。回代求得x等于十一分之二。因此临界点坐标为十一分之二，负十一分之一。
现在计算函数在临界点处的值。将x等于十一分之二，y等于负十一分之一代入原函数。经过逐步计算，各项分别为：二次项贡献一百二十一分之三十七，一次项贡献负一百二十一分之一百五十四，常数项贡献一百二十一分之二千零五十七。最终得到函数值为一百二十一分之一千九百四十。通过计算Hessian矩阵的行列式等于44大于0，且二阶偏导数fxx等于6大于0，确认这是最小值点。因此函数的最小值为一百二十一分之一千九百四十，约等于16.03。