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多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数。以二元函数为例，f(x,y)等于x平方加y平方，它的图像是一个三维曲面。与一元函数不同，多元函数的图像需要在三维空间中表示，形成各种曲面形状。
在多元函数中，邻域是一个重要概念。δ邻域是以目标点为中心、半径为δ的圆形区域。与一元函数不同，多元函数中的点可以从无穷多个方向趋近目标点，包括直线路径、螺旋路径等各种曲线。这种多样的趋近方式使得多元函数极限的研究更加复杂。
多元函数极限的严格定义使用ε-δ语言表述。当(x,y)趋近于(x₀,y₀)时，f(x,y)趋近于L，意味着对任意ε大于0，存在δ大于0，使得当点(x,y)在以(x₀,y₀)为中心、半径为δ的邻域内时，函数值f(x,y)就在以L为中心、半径为ε的邻域内。这个定义体现了函数值与自变量之间的对应关系。
多元函数极限的计算有多种方法。直接代入法适用于连续点。对于原点处的极限，常用极坐标变换，将x等于r余弦θ，y等于r正弦θ代入。例如xy除以x平方加y平方的极限，变换后得到r平方余弦θ正弦θ除以r平方，约去r平方后极限为0。夹逼定理也是重要方法。
多元函数在点(x₀,y₀)处连续，当且仅当该点的极限值等于函数值。连续性需要满足三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值。连续函数具有良好的性质，如连续函数的四则运算仍连续，复合函数也保持连续性。图中展示了连续点和不连续点的区别。