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分式方程是分母中含有未知数的方程。与整式方程不同,分式方程有一个重要特点:分母不能为零。这就要求我们在解题时必须考虑定义域,并在求解后进行检验。例如这个分式方程,它的定义域要求x不等于0且不等于2。
去分母是解分式方程的核心方法。首先找到各分母的最小公倍数,然后方程两边同时乘以这个最小公倍数,消除分母得到整式方程。以这个例题为例,分母的最小公倍数是x乘以x减2,两边同乘后化简,最终得到一元二次方程。
分式方程求解后必须检验解的有效性。在去分母过程中可能产生增根,这些增根会使原方程的分母为零,必须舍去。检验方法是将求得的解代入原方程的各个分母,如果使某个分母为零,则该解是增根。这个例题中,解得x等于1,但检验发现x等于1使分母为零,所以是增根,原方程无解。
对于复杂的分式方程,我们需要掌握一些高级技巧。换元法适用于具有对称结构的方程,通过设置新变量可以大大简化计算。因式分解法用于处理分母为多项式的情况。这个例题展示了换元法的应用,设t等于x除以x减1,原方程转化为关于t的简单方程,求解后再回代得到原方程的解。
分式方程在实际生活中有广泛应用,如工程问题、行程问题等。解决应用题的关键是正确设置未知数,根据题意建立分式方程。这个工程问题中,设合作x天完成,根据工作效率建立方程,求解得到7点2天。最后要检验解的实际意义,确保结果合理。