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变分法是数学物理中的重要工具，用于寻找使泛函取极值的函数。作用量原理表明，物理系统的真实运动使作用量取极值。通过对作用量进行变分，令其变分等于零，可以推导出欧拉-拉格朗日方程。这个方法不仅适用于经典力学，也是推导爱因斯坦场方程的关键数学工具。
爱因斯坦-希尔伯特作用量是广义相对论的核心，它描述了时空几何与物质的相互作用。作用量包含几何项和物质项，其中度规张量描述时空的几何性质，里奇标量反映时空的曲率，体积元素确保积分的协变性。根据变分原理，令作用量的变分为零，就能推导出爱因斯坦场方程。
度规张量的变分是推导爱因斯坦场方程的核心步骤。我们需要计算度规张量各分量的变分，以及由此导出的体积元素和克里斯托费尔符号的变分。体积元素的变分涉及度规行列式的变化，而克里斯托费尔符号的变分则需要用到协变导数。这些变分计算为后续的里奇标量变分奠定了基础。
里奇标量的变分计算是整个推导过程中最复杂的部分。首先需要计算里奇张量的变分，它涉及克里斯托费尔符号变分的协变导数。然后计算里奇标量的变分，包括度规张量上指标的贡献。通过分部积分和边界条件的处理，最终得到爱因斯坦张量的表达式，这为推导场方程做好了准备。
通过变分法的完整推导，我们最终得到了爱因斯坦场方程。这个方程的左侧描述时空的几何性质，右侧描述物质和能量的分布。场方程体现了广义相对论的核心思想：物质告诉时空如何弯曲，弯曲的时空告诉物质如何运动。这就是用变分法推导出的爱因斯坦场方程，它是现代宇宙学和引力理论的基石。