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垂径定理是圆的重要性质之一。它指出：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。在图中，直径CD垂直于弦AB，交点为M，则AM等于MB，弧AC等于弧BC。这个定理揭示了圆中垂直关系与平分关系的内在联系。
垂径定理有五个重要推论。第一，平分弦的直径垂直于弦。第二，弦的垂直平分线经过圆心。第三，平分弦所对弧的直径垂直平分弦。第四，过圆心且垂直于弦的直线平分弦所对的弧。第五，在同圆中，垂直平分弦的直线必过圆心。这些推论相互关联，构成了完整的垂径定理体系。
垂径定理的基础题型主要有三种。第一种是已知弦长和弦心距求半径，第二种是已知半径和弦长求弦心距，第三种是利用垂径定理证明线段相等或角度相等。解决这些问题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理建立半径、弦心距和半弦长之间的关系：r的平方等于d的平方加上二分之l的平方。
进阶题型将垂径定理与其他几何知识综合应用。包括与等腰三角形性质结合，与勾股定理结合求解，与圆周角定理结合，以及在拱桥等实际问题中的应用。解题策略是先识别垂径关系，然后建立坐标系或构造辅助线，最后综合运用多个几何定理求解。这类题目考查学生的综合分析能力。
现在我们来解决一道中等难度的综合题。在圆O中，弦AB等于8，弦CD等于6，AB垂直于CD于点P，且OP等于1，求圆的半径。首先建立坐标系，设O为原点。设AB中点为M，CD中点为N。由垂径定理可知OM垂直于AB，ON垂直于CD。设OM等于a，ON等于b，由几何关系可得a的平方加b的平方等于1。再由勾股定理，r的平方等于a的平方加16，r的平方也等于b的平方加9。联立方程求解，最终得到圆的半径为5。