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三角函数起源于直角三角形中边长的比值关系。当我们固定一个锐角θ时，无论三角形大小如何变化，对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值、以及对边与邻边的比值都保持不变。我们把这些比值分别定义为正弦、余弦和正切函数。
掌握特殊角的三角函数值对解题非常重要。通过30-60-90度和45-45-90度直角三角形，我们可以推导出这些特殊角的精确值。例如，在30-60-90三角形中，边长比为1比根号3比2，由此可以计算出30度角的正弦值为二分之一。
三角函数具有许多重要性质。首先，角度的定义域可以扩展到任意实数。正弦和余弦的值域都在负一到正一之间。它们具有周期性，每隔360度或2π弧度重复一次。正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。此外，正弦和余弦之间存在互余关系。
三角函数的图像直观地展示了它们的性质。正弦函数的图像是一条光滑的波浪曲线，从原点开始，先上升到最高点1，然后下降经过零点，继续下降到最低点负1，最后回升到零点，完成一个周期。这个过程每隔2π重复一次，体现了正弦函数的周期性。
三角函数在实际生活中应用非常广泛。在测量学中，我们可以用三角函数测量高度和距离。在物理学中，简谐运动可以用正弦函数描述。在工程中，振动分析离不开三角函数。例如，要测量一座塔的高度，我们可以在距离塔底30米处测得仰角为60度，利用正切函数计算得出塔高为30倍根号3米。