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幂级数是数学分析中的重要概念，它是无穷多项式的推广形式。标准的幂级数形式为无穷项的和，每一项都是x减去中心点c的n次幂乘以系数。最简单的例子是几何级数，当x的绝对值小于1时，无穷级数的和等于1除以1减x。右图展示了多项式如何逐步逼近目标函数。
收敛半径是幂级数理论的核心概念。Abel定理告诉我们，幂级数在收敛半径内绝对收敛，在收敛半径外发散。收敛半径可以用比值判别法或根值判别法计算。例如对于级数x的n次方除以n的和，系数为1除以n，通过比值判别法可得收敛半径为1。右图动态展示了收敛区域随半径变化的过程。
确定收敛半径后，还需分析端点的收敛性来得到完整的收敛区间。收敛区间的开区间部分总是c减R到c加R，但端点处的收敛性需要单独判断。可能出现三种情况：两端都收敛形成闭区间，一端收敛形成半开区间，或两端都发散保持开区间。例如级数x的n次方除以n，在x等于1处收敛，在x等于负1处发散。
幂级数支持多种运算操作。加法运算是对应系数相加，乘法运算使用柯西乘积公式，其中新系数等于所有可能配对的乘积之和。幂级数还可以逐项求导和逐项积分，这些运算在收敛半径内都是有效的。右侧演示了两个简单幂级数的加法运算过程，展示了如何逐项相加得到新的幂级数。
许多重要函数都可以展开为幂级数。指数函数e的x次方展开为x的n次方除以n的阶乘的无穷和。正弦函数展开为奇次幂项的交替级数，余弦函数展开为偶次幂项的交替级数。自然对数函数1加x的对数也有相应的幂级数展开。右图展示了幂级数部分和如何逐步逼近原函数，随着项数增加，逼近效果越来越好。