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行列式是线性代数中的重要概念。对于2×2矩阵，行列式等于ad减去bc，几何上表示面积的变换因子。当我们将单位正方形通过线性变换后，新图形的面积就是原面积乘以行列式的值。3×3矩阵的行列式同样表示体积变换因子，这为理解矩阵乘法提供了几何基础。
矩阵乘法AB在几何上表示复合变换：先应用变换B，再应用变换A。当我们有两个线性变换时，最终的面积变化等于两个变换的行列式相乘。这个过程可以通过观察单位正方形的连续变形来理解，每次变换都会改变图形的面积，最终面积是原面积乘以det(A)乘以det(B)。
行列式乘法的核心定理是det(AB)等于det(A)乘以det(B)。这个定理可以通过复合变换的几何性质来理解。我们用具体的2×2矩阵来验证：矩阵A的行列式是2，矩阵B的行列式是1，它们的乘积AB的行列式确实等于2乘以1等于2。通过观察单位正方形的变换过程，我们可以直观地看到面积变化符合这个公式。
让我们通过具体的3×3矩阵来验证行列式乘法公式。矩阵A是对角矩阵，行列式为6；矩阵B是上三角矩阵，行列式为1。根据公式，AB的行列式应该等于6乘以1等于6。通过动画演示单位立方体的变换过程，我们可以看到体积确实从1变为6，完美验证了det(AB)等于det(A)乘以det(B)的公式。
行列式乘法公式可以推广到多个矩阵相乘的情况。这个公式在线性代数中有重要应用：判断矩阵可逆性、分析线性方程组解的存在性、研究特征值关系等。通过连续变换的动画演示，我们看到每次变换都会改变图形的面积，最终的累积效果正是各个行列式的乘积。这揭示了行列式作为定向体积缩放因子的统一本质。