视频字幕
函数列是定义在同一区间上的函数序列。与数列不同，函数列的每一项都是函数。例如f_n(x)等于x的n次方，定义在区间0到1上。当n变化时，我们得到不同的函数图像。
函数列有两种收敛性。点态收敛是指对每个固定点，函数值收敛到极限函数值。一致收敛更强，要求所有函数图像最终都被夹在极限函数的ε-邻域内。例如x的n次方点态收敛到分段函数，但不一致收敛。
函数项级数是函数项的无穷级数。其部分和函数S_n(x)是前n项的和。级数收敛等价于部分和函数列收敛。以几何级数为例，部分和函数逐渐逼近极限函数1除以1减x。
Weierstrass判别法是判断函数项级数一致收敛的重要工具。如果函数项的绝对值被收敛的正项级数控制，则原级数一致收敛。例如正弦nx除以n平方的级数，被1除以n平方控制，因此一致收敛。
幂级数是函数项级数的重要特例。每个幂级数都有收敛半径R，可用比值判别法或根值判别法求得。在收敛圆内级数绝对收敛，圆外发散，圆上需单独判断。收敛半径决定了幂级数的收敛区域。