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数项级数是数学分析中的重要概念。给定数列a1, a2, a3等，我们将它们相加得到级数，记作∑aₙ。部分和Sₙ表示前n项的和。以几何级数1加二分之一加四分之一等为例，我们可以看到部分和逐渐接近2。当部分和序列有极限时，我们说级数收敛。
判断级数收敛性有多种方法。首先是必要条件：级数收敛则通项必须趋于零。比较判别法通过与已知级数比较来判断。比值判别法和根值判别法通过计算极限值来判断，当L小于1时收敛，大于1时发散。例如，∑1/n²收敛而∑1/n发散，展示了不同级数的收敛性质。
正项级数具有特殊性质。由于所有项都非负，部分和序列单调递增且有界时必收敛。积分判别法通过比较级数与积分来判断收敛性。p级数是重要例子：当p大于1时收敛，小于等于1时发散。Cauchy凝聚判别法提供了另一种有效方法。正项级数理论是整个级数理论的基础。
交错级数是项的符号交替变化的级数。Leibniz判别法告诉我们，如果通项绝对值单调递减趋于零，则交错级数收敛。例如交错调和级数收敛到ln2。我们区分绝对收敛和条件收敛：绝对收敛级数的绝对值级数也收敛，而条件收敛级数只有原级数收敛。绝对收敛级数具有重排不变性等重要性质。
收敛级数可以进行加法和数乘运算。两个级数的乘积可用Cauchy乘积表示。重要的级数包括几何级数和指数函数级数。泰勒级数将函数表示为幂级数，提供了函数的多项式逼近。随着项数增加，泰勒级数越来越接近原函数。数项级数在数学分析、物理学和工程学中都有重要应用。