求原式的最小值，请用将军饮马模型求解---**Question 5:** 求 $\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{(2-a)^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + (2-b)^2} + \sqrt{(2-a)^2 + (2-b)^2}$ 的最小值. **Extraction Content:** * **Question Stem:** 求...的最小值. (Find the minimum value of...) * **Mathematical Expression:** $\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{(2-a)^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + (2-b)^2} + \sqrt{(2-a)^2 + (2-b)^2}$ * **Other Relevant Text:** 5.

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将军饮马问题是一个经典的几何优化问题。古代将军需要从军营出发，到河边饮马，再到敌营，如何选择路径使总距离最短？解决这个问题的关键是轴对称变换。我们将敌营关于河流对称，得到对称点，这样原问题就转化为求军营到对称点的直线距离，体现了化折为直的核心思想。 让我们分析这个题目。这个表达式包含四个平方根项，每一项都表示一个距离。仔细观察，这实际上是点(a,b)到四个定点的距离之和：到原点(0,0)、到点(2,0)、到点(0,2)和到点(2,2)的距离。我们的目标是找到使这四个距离之和最小的点的位置。 关键的洞察是选择合适的对称轴。观察四个定点的分布，我们发现它们构成一个正方形。如果选择直线y=x作为对称轴，点A(2,0)关于y=x的对称点恰好是点B(0,2)，而点B(0,2)关于y=x的对称点恰好是点A(2,0)。这样，四个距离就可以巧妙地转化为两个距离。 经过对称变换，我们发现最优解就是正方形两条对角线的交点，即点(1,1)。此时，点P到O和C的距离之和等于对角线OC的长度2√2，点P到A和B的距离之和等于对角线AB的长度2√2。因此，原式的最小值为2√2 + 2√2 = 4√2。 通过将军饮马模型，我们成功求得原式的最小值为4√2。这个问题展示了将军饮马模型的核心思想：通过巧妙的对称变换，将复杂的多段距离问题转化为简单的直线距离问题。这种方法不仅适用于这道题，还可以推广到更多类似的几何优化问题中，体现了数学中化繁为简、以直代曲的重要思想。 让我们将这个代数问题转化为几何问题。观察原式，每一项都是一个距离：第一项是点(a,b)到原点的距离，第二项是到点(2,0)的距离，第三项是到点(0,2)的距离，第四项是到点(2,2)的距离。这四个定点恰好构成一个边长为2的正方形，我们的目标是找到使点P到这四个顶点距离之和最小的位置。 关键的洞察是发现四个定点的对称性质。观察这个正方形，我们发现点O(0,0)和点C(2,2)关于中心点(1,1)对称，点A(2,0)和点B(0,2)也关于中心点(1,1)对称。这意味着对于任意点P，到O和C的距离之和等于到对角线上某两点的距离之和，到A和B的距离之和也有类似性质。 根据对称性质，当点P位于正方形的中心，即两条对角线的交点(1,1)时，距离和达到最小值。此时，P到O和C的距离之和等于对角线OC的长度2√2，P到A和B的距离之和等于对角线AB的长度2√2。因此，原式的最小值为2√2加2√2等于4√2。 通过将军饮马模型，我们成功求得原式的最小值为4√2。我们可以验证：当a等于1，b等于1时，四个距离项都等于√2，总和确实是4√2。这个解法展示了将军饮马模型的核心步骤：识别问题、几何建模、寻找对称性、化简路径、确定最值。这种方法体现了数学中化繁为简、以直代曲的重要思想，在解决类似的几何优化问题时具有广泛的应用价值。