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我们要求表达式根号下x平方加4，加上根号下12减x的平方加9的最小值，其中x大于等于0。这个表达式可以理解为几何问题：点x,0到点0,2的距离，加上点x,0到点12,3的距离之和。我们在坐标系中标出这些关键点，可以看到这是一个典型的距离和最小值问题。
我们要求表达式根号x平方加4加上根号12减x的平方加9的最小值，其中x大于等于0。从几何角度理解，这个表达式表示点x,0到两个定点的距离之和。第一项表示到点0,2的距离，第二项表示到点12,3的距离。
要解决两点到直线上一点距离之和的最小值问题，我们使用反射原理。将点0,2关于x轴作对称，得到对称点0,负2。根据几何学原理，连接对称点0,负2和点12,3的直线与x轴的交点，就是使距离之和最小的最优点。这是因为对称点的性质保证了路径最短。
现在我们计算最小值。首先连接对称点A撇0负2和B点12,3，得到直线方程y等于12分之5x减2。令y等于0求与x轴的交点，得到x等于5分之24等于4.8。最小值就是A撇B的距离，等于根号12平方加5平方，等于根号169，等于13。因此原式的最小值为13。
现在我们具体计算对称点法的求解过程。首先，将点A(0,2)关于x轴作对称，得到A撇(0,-2)。然后求连接A撇和B的直线方程，斜率为5/12，直线方程为y等于5/12x减2。令y等于0，解得x等于24/5等于4.8。这就是使距离之和最小的最优x值。
现在计算最小值。方法一是直接计算A撇B的距离，等于根号12平方加5平方，等于根号169，等于13。方法二是将x等于4.8代入原式验证，计算结果也是13。因此，原表达式的最小值为13，当x等于4.8时取得。
最后我们用微积分方法验证结果。对原函数求导，得到导数表达式。将x等于4.8代入导数，验证确实等于0，说明这是临界点。总结一下：几何方法直观易懂，代数方法严格验证，两种方法都得到相同结果。原表达式的最小值为13，在x等于4.8时取得。