视频字幕
实数理论的构造始于有理数系统的不完备性。我们知道√2不是有理数，这可以通过反证法证明。假设√2等于既约分数p/q，则2q²等于p²，说明p是偶数。设p等于2k，则q²等于2k²，说明q也是偶数，这与既约分数矛盾。戴德金分割通过将有理数分为两个集合来定义实数，比如√2可以定义为小于√2的有理数集合A和大于√2的有理数集合B的分割。
戴德金分割的严格定义是将有理数集Q分为两个非空子集A和B，使得A与B的并集等于Q，交集为空集，且A中任意元素都小于B中任意元素。根据分割的性质，存在三种类型：第一类是A有最大元素，第二类是B有最小元素，第三类是A无最大元素且B无最小元素。第三类分割对应无理数，正是这种分割填补了有理数的空隙，构造出完整的实数系统。
基于戴德金分割，我们可以严格定义实数的运算。加法定义为两个分割的对应集合相加，即A₁加A₂等于所有a₁加a₂的集合。这样定义的加法满足交换律、结合律，并且存在加法单位元零。乘法的定义需要分情况讨论，对于正数，乘法定义类似于加法。通过验证这些运算的良定义性和基本性质，我们确保了实数系统的代数结构完整性。
实数的序关系通过戴德金分割严格定义：α小于β当且仅当A₁是A₂的真子集。这个序关系满足三歧性，即任意两个实数要么相等，要么一个小于另一个。同时满足传递性和与运算的相容性。实数的一个重要性质是稠密性：任意两个不同实数之间都存在另一个实数。这些性质确保了实数系统是一个完全有序域，为数学分析提供了坚实基础。
实数完备性定理是实数理论的核心：每个有上界的非空实数集都有上确界。证明包括构造候选上确界、验证其为上界、证明其为最小上界三个步骤。这个定理有多个等价表述，包括单调有界数列收敛定理、区间套定理和柯西收敛准则。完备性是实数区别于有理数的关键性质，它保证了数学分析中重要定理如中间值定理和最值定理的成立，为现代数学提供了坚实的理论基础。