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反常积分是定积分概念的重要推广。当积分区间为无穷区间,或被积函数在积分区间内无界时,普通的定积分定义不再适用,需要用极限的方法来定义积分。第一类反常积分处理无穷区间,第二类处理无界函数。
第一类反常积分处理无穷区间上的积分。定义为积分上限趋于无穷时的极限。以1/x²从1到无穷的积分为例,先计算从1到t的定积分,得到负1/t加1,然后令t趋于无穷,极限值为1,所以此反常积分收敛且值为1。
第二类反常积分处理被积函数无界的情况。当函数在积分区间端点或内部无界时,需要用极限方法定义。以1除以根号x从0到1的积分为例,在x等于0处函数无界,所以从ε到1积分,然后令ε趋于0,计算得到极限值为2。
判断反常积分收敛性有多种方法。比较判别法通过与已知收敛性的函数比较来判断。p积分是重要的判别标准:对于无穷区间,p大于1时收敛,小于等于1时发散;对于无界函数积分,p小于1时收敛,大于等于1时发散。
综合应用中要掌握解题思路。对于复杂的反常积分,首先识别是哪种类型,然后选择合适的方法。这个例题涉及无穷区间积分,利用函数的对称性简化计算,最终得到π。解题关键是正确识别积分类型,灵活运用各种判别法和计算技巧。