视频字幕
三角函数是描述角度与比值关系的重要函数。在单位圆中，正弦值等于点的y坐标，余弦值等于x坐标，正切值等于y除以x。三角函数具有周期性，每隔2π重复一次。让我们观察角度变化时三角函数值的变化规律。
基本三角函数的取值范围是分析复杂函数的基础。正弦函数和余弦函数的取值范围都是负一到正一的闭区间，这是因为它们在单位圆上的几何意义决定的。正弦函数在二分之π处取得最大值1，在二分之三π处取得最小值负1。而正切函数的取值范围是整个实数集，因为它会趋向无穷大。
复合三角函数的取值范围分析需要考虑各个参数的影响。对于函数y等于A乘以sin括号ωx加φ括号加B，其取值范围为B减去A的绝对值到B加上A的绝对值。参数A控制振幅，参数B控制垂直平移。例如y等于2sinx加1，A等于2，B等于1，所以取值范围是负1到3。让我们观察参数变化对函数图像和取值范围的影响。
当三角函数的定义域受到限制时，我们需要重新分析其取值范围。分析步骤包括：首先确定函数在限定区间内的单调性，然后找出端点值和可能的极值点。以y等于sinx在0到二分之π区间为例，函数在此区间单调递增，端点值分别为0和1，因此取值范围是0到1的闭区间。定义域的限制会显著影响函数的取值范围。
通过两个典型例题来巩固三角函数取值范围的分析方法。例题1：求y等于2sin括号x加三分之π括号减1在x属于0到π区间上的取值范围。首先确定内层函数x加三分之π的范围是三分之π到三分之四π，然后分析sin函数在此区间的取值，最后考虑外层变换得到范围负3到1。例题2：已知sinx加cosx等于t，求t的取值范围。利用辅助角公式化简为根号2倍sin括号x加四分之π括号，得到t的范围是负根号2到根号2。