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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它表明在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们用一个经典的3-4-5直角三角形来验证这个定理。可以看到，3的平方加4的平方等于9加16，结果是25，正好等于5的平方。
勾股树是一种基于勾股定理构造的美丽分形图形。它的构造方法很简单：首先从一个直角三角形开始，然后在两条直角边上分别构造正方形，接着在这些正方形的外侧构造新的直角三角形。通过不断重复这个过程，就能形成类似树状的分形结构。
现在我们详细演示第一层勾股树的构造过程。从3-4-5直角三角形开始，首先在边长为3的直角边上构造一个边长为3的正方形，然后在边长为4的直角边上构造一个边长为4的正方形。接下来，在这两个正方形的外侧分别构造新的直角三角形，形成第一层分支。
勾股树展现了递归算法的美妙之处。每个新生成的直角三角形都会按照相同的规则继续分支，形成树状的分形结构。从第一层到第二层，再到第三层，我们可以看到勾股树逐渐展现出自相似的分形特征，每个局部都与整体结构相似。
完整的勾股树展现了令人惊叹的数学美。它具有面积守恒的性质，即所有三角形的面积总和保持不变。同时体现了分形的自相似特征和黄金比例关系。勾股树不仅是数学的杰作，更是数学与艺术完美结合的典范，展现了几何图形的对称美和和谐美。