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勾股数是满足勾股定理的正整数三元组。最著名的例子是3、4、5，其中3的平方加4的平方等于5的平方。这样的整数组合在数学中有着重要意义，我们可以通过几何图形直观地理解这个关系。
原始勾股数是指三个数互质的勾股数，即它们的最大公约数为1。相对地，非原始勾股数有公共因子。原始勾股数有重要性质：必有一个偶数两个奇数，较小的两个数互质。通过表格可以看出，3-4-5和5-12-13是原始勾股数，而6-8-10和9-12-15是非原始勾股数。
欧几里得发现了生成所有原始勾股数的公式。对于互质且不同奇偶的正整数m大于n，可以用公式：a等于m平方减n平方，b等于2mn，c等于m平方加n平方。例如取m等于3，n等于2，得到勾股数5、12、13。取m等于4，n等于1，得到勾股数15、8、17。这个公式能系统地生成所有原始勾股数。
通过系统地选择m和n的值，我们可以生成各种勾股数。选择原则是m大于n大于0，m和n互质，且不同奇偶。表格展示了不同m、n组合的计算结果。例如m等于2、n等于1生成3-4-5，m等于3、n等于2生成5-12-13。这个方法可以系统地找到所有原始勾股数，为数学研究和实际应用提供了有力工具。
勾股数可以分为原始勾股数和非原始勾股数两类。从任何原始勾股数出发，乘以正整数k就能生成无穷多个非原始勾股数。例如从3-4-5可以生成6-8-10、9-12-15等。勾股数在建筑工程的直角测量、导航定位的距离计算等领域有重要应用，是连接纯数学理论与实际问题的重要桥梁。