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变分方法是数学物理中的重要工具。泛函是将函数映射到实数的映射，通过寻找使泛函取极值的函数来解决问题。欧拉-拉格朗日方程给出了泛函极值的必要条件。最速降线问题展示了变分原理的直观应用：在重力作用下，质点从A点到B点的最快路径不是直线，而是摆线。
非线性发展方程描述了许多物理现象的时间演化。一般形式为偏微分方程，其中N是非线性算子。典型例子包括非线性薛定谔方程，描述量子系统；KdV方程，描述浅水波；sine-Gordon方程，描述相对论场。这些方程的非线性特性使得传统线性方法失效，解可能表现为孤立子或复杂波动形式，因此需要变分方法等新工具。
变分原理在非线性发展方程中的应用从构造拉格朗日密度开始。对于非线性薛定谔方程，我们建立包含动能项、势能项和非线性相互作用项的拉格朗日密度。通过变分原理得到欧拉-拉格朗日方程，正是我们要求解的非线性薛定谔方程。诺特定理告诉我们，对称性对应守恒量：时间平移对称性给出能量守恒，空间平移对称性给出动量守恒。
孤立子是非线性发展方程的特殊解，具有粒子性质。KdV方程的单孤立子解由双曲正割函数描述，其形状和速度由参数c决定。变分方法可以证明孤立子的稳定性：能量积分守恒保证了解的稳定传播。孤立子最神奇的性质是碰撞后完全恢复原形，这与线性波的叠加原理不同。反散射变换提供了求解孤立子的系统方法，与变分原理相辅相成。
数值变分方法将连续的变分问题转化为离散的代数问题。有限元方法是最重要的数值变分技术，通过选择合适的基函数和权函数，将偏微分方程转化为弱形式。算法包括网格划分、基函数选择、弱形式构造和时间积分等步骤。收敛性分析保证了数值解的可靠性。这些方法在量子场论、流体力学、生物数学等领域有广泛应用，为复杂非线性问题提供了实用的求解工具。