Tema 3. Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas 3.1 Binomial. 3.1.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.1.2 Gráfica. 3.2 Poisson. 3.2.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.2.2 Gráfica. 3.3 Hipergeométrica. 3.3.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.3.2 Gráfica. 3.4 Normal y Logarítmico-normal. 3.4.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.4.2 Gráfica. 3.5 Aproximación de la normal a la binomial. 3.5.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.5.2 Gráfica.

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Las variables aleatorias son funciones que asignan valores numéricos a los resultados de experimentos aleatorios. Pueden ser discretas, con valores contables como el resultado de un dado, o continuas, con valores en intervalos como la altura de una persona. Los parámetros estadísticos fundamentales son la media, que representa el valor esperado, la varianza que mide la dispersión, y la desviación estándar que es la raíz cuadrada de la varianza. Las distribuciones discretas clásicas modelan diferentes tipos de experimentos aleatorios. La distribución binomial describe n ensayos independientes con probabilidad p de éxito, como lanzar monedas. Su media es n por p y su varianza es n por p por uno menos p. La distribución de Poisson modela eventos raros con parámetro lambda, donde tanto la media como la varianza son iguales a lambda. La distribución hipergeométrica describe muestreo sin reemplazo de una población finita, con fórmulas más complejas para sus parámetros. Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. Las discretas toman valores específicos contables como la binomial, Poisson e hipergeométrica. Las continuas pueden tomar cualquier valor en un intervalo como la normal y log-normal. Las discretas usan probabilidades puntuales mientras las continuas usan funciones de densidad. La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante p. Su fórmula de probabilidad usa combinaciones. La media es n por p, la varianza es n por p por uno menos p, y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Las gráficas de distribuciones discretas se representan mediante histogramas que muestran las probabilidades para cada valor posible. La distribución binomial con n igual a diez y p igual a cero punto tres muestra una forma asimétrica. La distribución de Poisson con lambda igual a tres presenta una forma característica con cola hacia la derecha. La distribución hipergeométrica muestra un patrón similar a la binomial pero con variaciones debido al muestreo sin reemplazo. La distribución normal es continua y simétrica con forma de campana, definida por su media mu y desviación estándar sigma. Su función de densidad contiene la exponencial de menos x menos mu al cuadrado sobre dos sigma cuadrado. La distribución log-normal se usa para variables positivas donde el logaritmo sigue una distribución normal. Cuando n es grande, la distribución binomial se puede aproximar por una normal. Las condiciones son que n p y n por uno menos p sean al menos cinco. La aproximación usa la misma media n p y varianza n p por uno menos p. Se aplica corrección por continuidad para mayor precisión al convertir de discreta a continua. Las distribuciones continuas fundamentales incluyen la normal y la log-normal. La distribución normal es simétrica con forma de campana, definida por su media mu y desviación estándar sigma. Sigue la regla empírica donde el sesenta y ocho por ciento de los datos están dentro de una desviación estándar. La distribución log-normal se usa para variables positivas donde el logaritmo sigue una distribución normal, resultando en una curva asimétrica hacia la derecha. En resumen, hemos estudiado las principales distribuciones de probabilidad. Las distribuciones discretas incluyen la binomial para ensayos repetidos, la Poisson para eventos raros, y la hipergeométrica para muestreo sin reemplazo. Las distribuciones continuas incluyen la normal simétrica y la log-normal asimétrica. La selección de la distribución apropiada depende del tipo de variable, la naturaleza del experimento y las condiciones del problema. La aproximación normal a la binomial es útil cuando los parámetros son suficientemente grandes.