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同学们好！今天我们来解决一个有趣的不等式问题。这道题看起来有点复杂，但别担心，我们一步步来分析。题目给出了三个条件：a和b都是正数，它们满足2/a+1/b=1这个约束，而且a+b≥m要恒成立。我们的任务就是找出m的取值范围。关键在于理解'恒成立'的含义——这意味着我们需要找到a+b的最小值！
在解决这类问题之前，我们先回顾一下基本不等式这个强大的工具。基本不等式告诉我们，对于正数x和y，它们的算术平均数大于等于几何平均数。使用基本不等式有个口诀：一正二定三相等。一正是指变量都为正数，二定是指当积为定值时和最小，三相等是指等号成立的条件。右边的图形直观地展示了当xy等于4时，x加y的最小值在x等于y时取得。
现在来看解题的关键步骤！这里有个巧妙的技巧：我们要利用约束条件中的'1'。既然2/a+1/b等于1，那么a+b就等于(a+b)乘以1，也就是(a+b)乘以(2/a+1/b)。展开这个乘积，我们得到2加a/b加2b/a加1，整理后是3加a/b加2b/a。接下来运用基本不等式，a/b加2b/a大于等于2倍根号2，所以a+b大于等于3加2倍根号2，也就是9。右边的图形展示了函数的最小值点。
现在我们需要验证等号成立的条件。根据基本不等式，等号成立当且仅当a/b等于2b/a。解这个方程得到a的平方等于2倍b的平方，所以a等于根号2倍b。将这个关系代入约束条件2/a+1/b=1中，经过计算得到b等于根号2加1，a等于2加根号2。我们可以验证此时a+b确实等于3加2倍根号2。右边的图显示了这个最优点在约束曲线上的位置。
经过前面的推导，我们得出了最终结论：a加b大于等于9，因此要使a加b大于等于m恒成立，m必须小于等于9。所以实数m的取值范围是负无穷到9的闭区间。让我们回顾一下解题的关键思路：首先利用约束条件中的1进行配凑，然后巧妙展开括号，接着运用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件。这种方法在处理类似的约束最值问题时非常有效，大家要好好掌握这个套路！