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我们要计算一个复杂的分式表达式。已知条件是a加b加c等于零,这意味着c等于负的a加b。这个约束条件将帮助我们简化计算。我们将使用对称多项式理论和牛顿恒等式来系统地求解这个问题。
现在我们开始计算基础幂和。首先计算a的平方加b的平方加c的平方。利用c等于负的a加b,我们可以展开得到2倍的a平方加b平方加ab。接下来计算三次幂和,通过类似的代换和展开,最终得到3abc。这些基础计算为后续的高次幂和奠定了基础。
现在我们应用牛顿恒等式来计算高次幂和。牛顿恒等式给出了幂和与基本对称多项式的递推关系。由于e1等于零,公式简化为pk等于负e2乘以pk减2加e3乘以pk减3。利用这个递推关系,我们可以计算出p4等于负2倍e2的平方,p5等于负e2乘以e3。
继续使用递推关系计算更高次的幂和。p6等于2倍e2的三次方加3倍e3的平方。最重要的是p7,即分子中的a七次方加b七次方加c七次方,经过计算得到负e2平方乘以e3。现在我们已经得到了所有需要的幂和结果,可以进行最终的表达式化简了。
现在我们将所有计算结果代入原表达式。分子是负e2平方乘以e3的平方,等于e2的四次方乘以e3的平方。分母是各个幂和的乘积,计算得到12倍e2的四次方乘以e3的平方。约去公因子后,最终答案是十二分之一。这就是我们要求的表达式的值。