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我们有一个关于三个实数a、b、c的问题。已知它们的和为9，平方和为29，立方和为99，需要求出它们倒数的和。解决这类问题的关键是利用对称多项式理论，将目标表达式转化为基本对称多项式的比值形式。
今天我们来解决一个关于对称多项式的问题。已知实数a、b、c满足三个条件：它们的和等于9，平方和等于29，立方和等于99。我们需要求出它们倒数的和，即1/a加1/b加1/c的值。
对称多项式是解决这类问题的核心工具。三个变量的基本对称多项式分别是：σ₁等于三个变量的和，σ₂等于两两乘积的和，σ₃等于三个变量的乘积。从已知条件可以直接得到σ₁等于9。我们的目标表达式可以写成σ₂除以σ₃的形式，因此需要求出σ₂和σ₃的值。
我们使用牛顿恒等式来求解σ₂。牛顿恒等式建立了幂次和与基本对称多项式的关系。对于二次幂次和，有s₂等于σ₁乘以s₁减去2倍的σ₂。将已知的s₁等于9和s₂等于29代入，得到29等于81减去2倍σ₂，解得σ₂等于26。
现在使用三次牛顿恒等式求解σ₃。三次恒等式为s₃等于σ₁乘以s₂减去σ₂乘以s₁加上3倍σ₃。将已知值代入：99等于9乘以29减去26乘以9加上3倍σ₃。计算得99等于27加上3倍σ₃，因此σ₃等于24。现在我们得到了所有基本对称多项式的值。
现在我们可以计算最终答案了。目标表达式等于σ₂除以σ₃，即26除以24。将分数化简，得到13除以12。我们还可以通过韦达定理验证：a、b、c是方程x³减9x²加26x减24等于0的根。因此，1/a加1/b加1/c的值等于13/12。
现在我们来计算第二对称多项式σ₂。我们使用一个重要的恒等式：a加b加c的平方等于a²加b²加c²加上2倍的ab加bc加ca。将已知条件代入：9的平方等于29加上2倍σ₂，即81等于29加2倍σ₂。解得2倍σ₂等于52，因此σ₂等于26。
现在计算第三对称多项式σ₃。我们使用三次幂和恒等式：a³加b³加c³减3abc等于a加b加c乘以a²加b²加c²减ab减bc减ca。将已知值代入：99减3abc等于9乘以29减26，即9乘以3等于27。因此3abc等于99减27等于72，所以abc等于24。
现在我们来计算最终答案。目标表达式1/a加1/b加1/c可以转化为对称多项式的形式：分子是bc加ac加ab，即σ₂，分母是abc，即σ₃。因此答案等于σ₂除以σ₃。代入我们计算得到的值：26除以24。化简这个分数，得到13除以12。所以最终答案是13/12。