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一维无限深势阱是量子力学中最基本的模型之一。在这个模型中，粒子被完全束缚在长度为L的一维区域内。势阱的边界处势能为无穷大，使得粒子无法逃逸到势阱外部，而在势阱内部势能为零。这种理想化的模型虽然简单，但能够很好地展示量子力学的基本特征，如能量量子化和波函数的概念。
在势阱内部，粒子满足时间无关的薛定谔方程。将势能V等于零代入，得到二阶微分方程。引入波数k，方程变为标准的简谐振动形式。通解包含正弦和余弦项。应用边界条件：波函数在势阱边界处必须为零，这导致量子化条件kL等于n倍π，其中n为正整数。
通过求解薛定谔方程，我们得到量子化的能级公式和归一化的波函数。能级与量子数n的平方成正比，这意味着能级间距随n增大而增大。基态能量不为零，这是量子力学的重要特征，称为零点能。图中显示了前三个量子态的波函数形状，量子数越大，波函数振荡越快，节点越多。
概率密度等于波函数的模长平方，描述了在某位置找到粒子的概率。图中显示了不同量子态的概率密度分布。注意节点位置，这些地方粒子出现的概率为零。基态时粒子最可能在势阱中心被发现，而激发态有多个概率最大值。当量子数很大时，概率密度趋向均匀分布，这体现了量子力学向经典力学的过渡。
让我们通过一个具体例题来应用所学知识。电子被束缚在1纳米长的势阱中。首先计算前三个能级：基态能量0.376电子伏特，第一激发态1.504电子伏特，第二激发态3.384电子伏特。基态到第一激发态的跃迁频率为2.73乘以10的14次方赫兹。最后，通过积分计算基态时粒子在中间三分之一区域的概率约为19.6%。这些计算展示了量子力学在微观尺度的实际应用。