视频字幕
实数的完备性是分析学的基础。它有三个等价表述：上确界公理、单调有界定理和柯西收敛准则。这里展示单调递增有界数列a_n = 2 - 1/n收敛到极限2的过程，体现了实数完备性的核心思想。
实数完备性保证了连续函数的重要性质。中间值定理说明连续函数在闭区间上取遍所有中间值。最值定理保证连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。这些性质都依赖于实数的完备性，为积分理论提供了坚实基础。
不定积分是导数的逆运算。如果F的导数等于f，则F是f的原函数。f的所有原函数构成不定积分，记作积分f(x)dx等于F(x)加C。这里展示f(x)等于2x的原函数族，它们相差一个常数C。实数完备性保证了原函数的存在性。
这里展示常用函数的不定积分公式。幂函数、指数函数、三角函数都有对应的积分公式。图像显示了函数与其原函数的关系：蓝色是原函数，红色是其积分结果。掌握这些基本公式是计算复杂积分的基础。
积分的主要计算方法包括换元积分法和分部积分法。在实际应用中，积分广泛用于物理和工程领域。这里展示了运动学应用：已知速度函数，通过积分求得位移函数。速度曲线下的面积就是位移，体现了积分的几何意义。