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摆轮线是一种经典的数学曲线。当一个圆沿着直线滚动时，圆周上任意一个固定点所描绘出的轨迹就是摆轮线。这里我们看到蓝色的圆是生成圆，黑色直线是基线，红色点是描迹点。随着圆的滚动，红色点描绘出美丽的摆轮线轨迹。
现在我们详细观察摆轮线的生成过程。圆的半径为r，当圆沿直线滚动时，圆心沿着平行于基线的直线移动。绿色点表示圆心，红色点是描迹点，绿色线段连接圆心和描迹点。随着圆的滚动，描迹点描绘出完整的摆轮线。一个完整的拱形对应圆滚动一周，长度为2πr。
摆轮线的参数方程可以通过几何分析推导得出。设圆的半径为r，滚动角度为t。当圆滚动时，圆心的x坐标为rt，y坐标为r。描迹点相对于圆心的位置由角度t决定。最终得到摆轮线的参数方程：x等于r乘以t减去sin t，y等于r乘以1减去cos t。这里t是参数，表示圆滚动的角度，一个完整周期对应t从0到2π。
摆轮线具有许多重要的几何性质。一个完整周期的长度为8r，其中r是生成圆的半径。曲线的最高点高度为2r，最低点在基线上高度为0。摆轮线关于x等于πr的直线对称。一个拱形的宽度为2πr，面积为3πr的平方。这些性质使得摆轮线在数学和工程中具有重要应用价值。