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微分中值定理是微积分的核心定理之一，它揭示了函数在某个区间内的平均变化率与某点处瞬时变化率之间的关系。主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。图中展示了拉格朗日中值定理的几何意义：在区间[a,b]上，存在一点c，使得函数在c点的切线斜率等于连接端点的割线斜率。
罗尔定理是微分中值定理中最基础的定理。它的条件是：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等。结论是在开区间内必存在一点，使得该点的导数为零。几何意义是曲线上必有一点的切线是水平的。这个定理为后续的拉格朗日中值定理奠定了基础。
拉格朗日中值定理是微分学的核心定理。它指出，如果函数在闭区间上连续且在开区间内可导，则必存在一点c，使得该点的导数等于函数在区间端点的平均变化率。几何意义是曲线上必有一点的切线平行于连接端点的割线。这个定理在理论分析和实际应用中都有重要作用。
导数在数学分析中有广泛应用。通过导数可以判断函数的单调性：导数大于零时函数递增，小于零时函数递减。导数为零的点可能是极值点。二阶导数可以判断函数的凹凸性和拐点。这些性质在优化问题、物理建模、经济分析等领域都有重要应用。