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费马点是三角形中一个特殊的点，它使得从该点到三角形三个顶点的距离之和达到最小值。这个问题最初由17世纪法国数学家费马提出。如图所示，点P就是三角形ABC的费马点，满足PA加PB加PC的和最小。当我们移动三角形内的任意一点时，可以观察到距离和的变化，而费马点正是使这个和达到最小的位置。
托里切利提出了一种巧妙的几何构造方法来找到费马点。首先，在三角形的每条边上向外构造等边三角形。然后，连接原三角形的每个顶点与对应新构造的顶点。这三条连线会相交于一点，这个交点就是费马点。这种构造方法不仅优雅，而且为后续的角度性质推导奠定了基础。
基于前面的几何构造，我们可以推导出费马点的一个重要性质：从费马点看三角形的三条边，相邻两条边之间的夹角都恰好是120度。也就是说，角APB、角BPC和角CPA都等于120度。这个性质是费马点的关键特征，它不仅帮助我们识别费马点，也为证明其最优性提供了重要依据。这个120度的角度关系直接源于等边三角形的构造和角度的传递性质。
现在我们来严格证明费马点确实使距离和最小。利用向量分析方法，当三个向量PA、PB、PC的夹角都是120度时，它们在平面上形成平衡状态。根据向量和的性质，此时三个向量的和为零向量，这正是使得距离和达到最小值的条件。这个120度角不是偶然的，而是几何优化的必然结果。通过微积分的方法也可以证明，当偏离这个角度时，距离和会增大。
费马点理论还包含重要的特殊情况。当三角形中有一个角大于或等于120度时，费马点不再位于三角形内部，而是退化到那个最大角的顶点。这是因为此时从该顶点到其他两个顶点的距离和已经是最小的。判断准则很简单：对于锐角三角形，费马点位于内部；对于有钝角大于等于120度的三角形，费马点就是那个钝角顶点。这个性质使得费马点理论更加完整和实用。