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线性相关和线性无关是线性代数的基础概念。向量组线性相关意味着其中某个向量可以用其他向量的线性组合表示，而线性无关则表示向量之间相互独立。我们通过二维平面上的向量来直观理解这些概念。
矩阵的秩是线性代数中的核心概念，它等于矩阵中线性无关行向量或列向量的最大个数。我们可以通过行变换将矩阵化为行阶梯形来计算秩。矩阵的秩反映了矩阵的有效维度，在解线性方程组时起关键作用。
向量空间是满足特定运算规则的向量集合。基是向量空间中线性无关且能生成整个空间的向量组。任何向量都可以用基向量的线性组合唯一表示。基的选择不唯一，但基中向量的个数即维数是确定的。
正交基是向量两两垂直的基，标准正交基进一步要求每个基向量的长度为1。Gram-Schmidt正交化过程可以将任意线性无关向量组转换为正交基。正交基具有计算简便、几何意义清晰的优点，在数值计算和理论分析中都有重要应用。
奇异值分解将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积：两个正交矩阵和一个对角矩阵。几何上表示任何线性变换都可分解为旋转、缩放、再旋转的组合。这些线性代数概念相互关联：线性无关决定基的选择，秩决定有效维度，正交基简化计算，奇异值分解揭示数据的内在结构，在现代数据科学中发挥重要作用。