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数学中有些方程很容易解决，比如x的平方等于4，解是正负2。x的平方等于1，解是正负1。但是当我们遇到x的平方等于负1时，在实数范围内却找不到解。无论我们在实数轴上如何搜索，都无法找到一个数，它的平方等于负1。这就是数学发展中遇到的困境，促使我们需要扩展数系。
为了解决这个问题，数学家们引入了一个全新的数，叫做虚数单位i。它的定义是i的平方等于负1。这样，方程x的平方等于负1就有解了，解是正负i。虚数单位i有一个有趣的性质：它的幂次呈现循环模式。i的1次方等于i，i的2次方等于负1，i的3次方等于负i，i的4次方等于1，然后又回到i，如此循环往复。
有了虚数单位i，我们就可以定义复数了。复数的标准形式是a加bi，其中a叫做实部，b叫做虚部。比如3加4i，实部是3，虚部是4。负2加5i，实部是负2，虚部是5。复数系统包含了所有的实数和虚数。当虚部为0时，复数就是实数；当实部为0时，复数就是纯虚数。这样，复数系统就完整地扩展了我们的数系。
为了更直观地理解复数，我们引入复平面的概念。在复平面中，横轴表示实轴，对应复数的实部；纵轴表示虚轴，对应复数的虚部。每个复数a加bi都可以表示为平面上的一个点，坐标是(a,b)。比如3加2i对应点(3,2)，负2加i对应点(-2,1)。我们还可以定义复数的模长，它等于从原点到该点的距离，以及复数的幅角，它是从正实轴到该点连线的角度。
复数乘法有着美妙的几何意义。当我们将一个复数乘以虚数单位i时，它在复平面上会逆时针旋转90度。让我们以复数2加i为例来观察这个过程。原始复数2加i位于第一象限。乘以i后得到负1加2i，点移动到第二象限。再乘以i得到负2减i，移动到第三象限。第三次乘以i得到1减2i，移动到第四象限。最后再乘以i，又回到原来的位置2加i。这样就完成了一个完整的旋转循环，展现了复数乘法的几何美感。