视频字幕
圆是平面几何中最基本的图形之一。圆的定义是平面上到定点距离相等的所有点的集合。这个定点叫做圆心，用字母O表示。从圆心到圆上任意一点的距离叫做半径，用字母r表示。通过圆心的弦叫做直径，它的长度等于两倍半径。
为了推导圆的面积公式，我们采用分割的思想。将圆等分成若干个扇形，从4等分开始，然后增加到8等分、16等分。随着分割数量的增加，每个扇形变得越来越小，形状也越来越接近三角形。这种分割方法是推导圆面积公式的关键步骤。
现在我们将分割后的扇形重新排列。把相邻的扇形交替排列，一个向上，一个向下，这样就形成了一个近似矩形的图形。随着分割数量的增加，这个排列后的图形越来越接近标准的矩形。这种巧妙的几何变换是整个推导过程的关键步骤。
现在我们来分析这个近似矩形的尺寸。矩形的长等于圆周长的一半，也就是πr。矩形的宽等于圆的半径r。当分割的扇形数量趋于无穷时，排列后的图形就完全变成了一个标准的矩形。因此矩形的面积就等于长乘以宽，即πr乘以r。
现在我们完成最终的数学推导。根据矩形面积公式，面积等于长乘以宽。将我们得到的尺寸代入：S等于πr乘以r，化简得到S等于πr的平方。这就是圆的面积公式。通过这种巧妙的几何变换，我们成功地将圆的面积问题转化为矩形面积问题，从而推导出了圆的面积公式πr²。