视频字幕
圆是平面几何中最基本的图形之一。从数学定义来看，圆是平面上到定点距离相等的所有点组成的集合。这个定点叫做圆心，用字母O表示，而这个相等的距离叫做半径，用字母r表示。圆上的任意一点P到圆心O的距离都等于半径r。
现在我们来推导圆的标准方程。设圆心坐标为(a,b)，半径为r，圆上任意一点坐标为(x,y)。根据圆的定义，圆上任意点到圆心的距离都等于半径r。利用两点间距离公式，我们得到根号下(x-a)的平方加(y-b)的平方等于r。将等式两边平方，消除根号，就得到圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²。当圆心在原点时，方程简化为x²+y²=r²。
除了标准方程，我们还可以用参数方程来表示圆。圆的参数方程为：x等于a加r乘以cos t，y等于b加r乘以sin t。其中a和b是圆心坐标，r是半径，t是参数，通常表示角度。当参数t从0变化到2π时，点(x,y)会在圆上运动一整圈。参数方程的优点是能够清楚地描述圆上点的运动轨迹。
现在我们来分析为什么圆不能用单一的显函数y等于f(x)来完整表示。从圆的标准方程出发，解出y得到y等于b加减根号下r²减(x-a)²。这里的关键问题是出现了加减号，意味着对于圆内部的每一个x值，都对应着两个不同的y值。这违反了函数的基本定义：一个自变量只能对应一个因变量。因此，我们需要将圆分成两部分来用显函数表示。
圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。这是一个隐函数形式，即x和y之间的关系是隐含的。
圆的标准方程存在一个问题：它不是显函数。对于一个x值，圆上可能对应两个不同的y值，这违反了函数的定义。函数要求每个输入只能对应一个输出。
要将圆表示为显函数，我们从标准方程开始推导。将方程变形，解出y得到y=b±√(r²-(x-a)²)。正负号表示圆被分成上下两部分。
以单位圆为例，其方程为x²+y²=1。我们可以将其分解为两个显函数：上半圆y=√(1-x²)和下半圆y=-√(1-x²)。两个函数的定义域都是[-1,1]。
为了用显函数表示圆，我们需要将圆分解为两个部分。上半圆的函数表达式为y等于b加根号下r²减(x-a)²，下半圆的函数表达式为y等于b减根号下r²减(x-a)²。两个函数的定义域都是从a减r到a加r。以单位圆为例，上半圆为y等于根号下1减x²，下半圆为y等于负根号下1减x²，定义域为负1到1。通过这种分段表示，我们就能用两个显函数完整描述一个圆。