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导数是微积分中的核心概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是函数图像在该点处切线的斜率。我们可以通过割线逼近切线的过程来直观理解导数。当点B逐渐靠近点A时，连接两点的割线斜率会趋向于过点A的切线斜率，这个极限值就是函数在点A处的导数。
现在我们给出导数的严格数学定义。函数f在点x处的导数，定义为当自变量增量Δx趋于零时，函数增量与自变量增量比值的极限。这个比值实际上就是割线的斜率。当Δx逐渐减小时，我们可以看到斜率值逐渐趋向于一个固定值，这就是导数。只有当左极限和右极限都存在且相等时，函数在该点才可导。
掌握基本函数的导数公式是求导的基础。幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n减1次方。指数函数e的x次方的导数是它本身。自然对数函数的导数是x分之一。正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。常数的导数为零。以x的三次方为例，它的导数是3x的平方，这意味着在任意点处，切线斜率等于该点横坐标平方的三倍。
导数的运算法则让我们能够处理复杂函数的求导。加减法则说明两函数和差的导数等于各自导数的和差。乘积法则是两函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。商的导数用商法则计算。最重要的是链式法则，用于复合函数求导。以x平方乘以正弦x为例，应用乘积法则，得到2x乘以正弦x加上x平方乘以余弦x。
在掌握基本求导法则后，我们来学习一些高级的求导方法。隐函数求导用于处理无法显式表达y关于x的函数，如圆的方程x平方加y平方等于1，通过对等式两边同时求导得到dy比dx等于负x比y。参数方程求导适用于用参数表示的曲线，利用链式法则计算dy比dx等于dy比dt除以dx比dt。高阶导数是对函数进行多次求导，如指数函数的各阶导数都等于自身。这些方法大大扩展了我们处理复杂函数求导问题的能力。