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同学们好！今天我们来解决一个有趣的不等式问题。已知正数x和y满足约束条件x加y等于x乘以y，我们要求x加2y的最小值。这个问题看起来简单，但其中蕴含着巧妙的数学技巧。让我们先观察一下约束条件的几何意义，它在坐标系中形成了一条双曲线。
现在我们来进行关键的变形！将约束条件x加y等于xy两边同时除以xy，得到x加y除以xy等于1。然后分别化简左边的分数，x除以xy等于1除以y，y除以xy等于1除以x。最终得到1除以y加上1除以x等于1。这个变形看似简单，但它为我们后续的巧妙构造奠定了基础！
现在到了最关键的步骤！我们要构造表达式：x加2y乘以括号1除以y加1除以x括号。为什么要这样构造呢？因为我们的目标是求x加2y的最小值，而约束条件告诉我们1除以x加1除以y等于1。将这两个表达式相乘，就为应用柯西-施瓦茨不等式创造了完美的条件！这个构造看似随意，实际上蕴含着深刻的数学智慧。
大家好！今天我们来解决一个有趣的不等式问题。已知正数x和y满足x加y等于xy，我们要求x加2y的最小值。这个问题的关键是要使用一个巧妙的步骤：将x加2y乘以括号1除以y加1除以x括号。让我们一步步来看看这个神奇的方法！
首先我们来分析约束条件。已知x加y等于xy，我们可以变形：xy减去x减去y等于0。两边同时加1，得到xy减去x减去y加1等于1。这可以因式分解为：括号x减1括号乘以括号y减1括号等于1。因此y等于1除以x减1再加1。由于x和y都是正数，我们得出x必须大于1。
现在来看关键的变换思路！我们要构造x加2y乘以括号1除以y加1除以x括号。为什么要这样做呢？因为根据约束条件x加y等于xy，我们有1除以y加1除以x等于x加y除以xy，也就是xy除以xy等于1。所以这个乘积实际上就等于x加2y乘以1，还是等于x加2y。但是这个变换为我们后面应用不等式创造了条件！
现在我们展开这个关键的乘积！x加2y乘以括号1除以y加1除以x括号，展开得到x除以y加1加2y除以x加2，整理后是3加x除以y加2y除以x。接下来应用基本不等式：对于正数a和b，a加b大于等于2倍根号ab。所以x除以y加2y除以x大于等于2倍根号下x除以y乘以2y除以x，也就是2倍根号2。因此原式大于等于3加2倍根号2！
最后我们来求解最优值！等号成立的条件是x除以y等于2y除以x，即x的平方等于2y的平方，所以x等于根号2倍y。将这个关系代入约束条件：根号2倍y加y等于根号2倍y乘以y。整理得到根号2加1倍y等于根号2倍y的平方。解得y等于1加1除以根号2，x等于1加根号2。因此x加2y的最小值就是3加2倍根号2，约等于5.828！这就是我们的最终答案！
现在我们来求解最优值并验证答案！根据等号成立条件x除以y等于2y除以x，我们得到x的平方等于2y的平方，即x等于根号2倍y。将这个关系代入约束条件x加y等于xy，得到根号2倍y加y等于根号2倍y的平方。整理后求得y等于1加根号2除以2，x等于1加根号2。因此x加2y的最小值是3加2倍根号2，约等于5.828。我们可以验证这个点确实满足原约束条件，答案正确！