Mtro. Miguel Ángel Hernández Cruz Instituto Tecnológico Superior de Occidente del Estado de Hidalgo Tema 3. Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. 3.1 Binomial. 3.1.1 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.1.2 Gráfica. 3.2 Poisson. 3.3 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.4 Gráfica. 3.5 Hipergeométrica. 3.6 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.7 Gráfica. 3.8 Normal y Logarítmico-normal. 3.9 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.10 Gráfica. 3.11 Aproximación de la normal a la binomial. 3.12 Propiedades: Media, Varianza y desviación estándar. 3.13 Gráfica.

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Las distribuciones de probabilidad son herramientas fundamentales en estadística. Una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento. Existen dos tipos principales: variables discretas que toman valores contables como la binomial, Poisson e hipergeométrica, y variables continuas que toman valores en intervalos como la normal y log-normal. Estudiaremos también cómo la distribución normal puede aproximar la binomial bajo ciertas condiciones. La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito. Su función de probabilidad involucra coeficientes binomiales. La media es n por p, la varianza es n por p por uno menos p, y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. El gráfico muestra la distribución para n igual a 10 y p igual a 0.3. La distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio. Su parámetro lambda representa la tasa promedio de eventos. Una característica notable es que la media y la varianza son iguales a lambda. Se aplica en situaciones como llegadas a un sistema, defectos en manufactura, o llamadas telefónicas por hora. La distribución hipergeométrica modela el número de éxitos en una muestra sin reemplazo de una población finita. Se diferencia de la binomial porque la probabilidad cambia en cada extracción. Sus parámetros son N el tamaño de población, K los éxitos en la población, n el tamaño de muestra, y k los éxitos en la muestra. La media es n por K sobre N, y la varianza incluye un factor de corrección por población finita. La distribución normal es fundamental en estadística, caracterizada por su forma de campana simétrica. Sus parámetros son la media μ y la desviación estándar σ. Una aplicación importante es la aproximación normal a la binomial cuando n es grande y p no está cerca de 0 o 1. La distribución log-normal surge cuando el logaritmo de una variable sigue distribución normal. El gráfico muestra cómo la normal aproxima la binomial con parámetros n igual a 20 y p igual a 0.4. La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito. Su función de probabilidad involucra coeficientes binomiales. La media es n por p, la varianza es n por p por uno menos p, y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. El gráfico muestra la distribución para n igual a 10 y p igual a 0.3. La distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio. Su parámetro lambda representa la tasa promedio de eventos. Una característica notable es que la media y la varianza son iguales a lambda. Se aplica en situaciones como llegadas a un sistema, defectos en manufactura, o llamadas telefónicas por hora. La distribución hipergeométrica modela el número de éxitos en una muestra sin reemplazo de una población finita. Se diferencia de la binomial porque la probabilidad cambia en cada extracción. Sus parámetros son N el tamaño de población, K los éxitos en la población, n el tamaño de muestra, y k los éxitos en la muestra. La media es n por K sobre N, y la varianza incluye un factor de corrección por población finita. La distribución normal es fundamental en estadística, caracterizada por su forma de campana simétrica. Sus parámetros son la media μ y la desviación estándar σ. Una aplicación importante es la aproximación normal a la binomial cuando n es grande y p no está cerca de 0 o 1. La distribución log-normal surge cuando el logaritmo de una variable sigue distribución normal. El gráfico muestra cómo la normal aproxima la binomial con parámetros n igual a 20 y p igual a 0.4.